三角形的面积计算公式_1

三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的交点称为一个顶点，三个顶点连成的线段称为三角形的边。计算三角形的面积是几何学中的基本问题之一，本文将介绍三角形面积的计算公式及其推导过程。

三角形面积的计算公式

三角形面积的计算公式是：

$S=\frac{1}{2}bh$

其中，$S$表示三角形的面积，$b$表示三角形的底边长，$h$表示三角形的高。

三角形的底边是指任意一条边，而高是从底边上的顶点向底边所在直线垂直的线段。如图所示：


在上图中，$AB$为三角形的底边，$CD$为三角形的高。根据三角形的定义，$CD$与$AB$垂直。

推导三角形面积的计算公式

三角形面积的计算公式可以通过以下两种方法推导得出。

方法一：利用平行四边形的面积公式

如图所示，将三角形$ABC$和$ABD$组成一个平行四边形$ABDC$，则平行四边形$ABDC$的面积为：

$S_{ABDC}=BD \times h$

其中，$BD$为平行四边形$ABDC$的底边长，$h$为平行四边形$ABDC$的高。

又因为三角形$ABC$和$ABD$的面积分别为：

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB \times h$

$S_{ABD}=\frac{1}{2}AB \times h$

将$S_{ABC}$和$S_{ABD}$相加，得到：

$S_{ABC}+S_{ABD}=\frac{1}{2}AB \times h+\frac{1}{2}AB \times h=AB \times h$

因为平行四边形$ABDC$的面积等于三角形$ABC$和$ABD$的面积之和，即：

$S_{ABDC}=S_{ABC}+S_{ABD}$

所以有：

$S_{ABC}+S_{ABD}=BD \times h$

将$S_{ABC}$和$S_{ABD}$用三角形面积公式表示，得到：

$\frac{1}{2}AB \times h+\frac{1}{2}AB \times h=\frac{1}{2}BD \times h$

化简得到：

$\frac{1}{2}AB \times h=\frac{1}{2}BD \times h$

即：

$AB=BD$

因此，三角形的底边长等于平行四边形的底边长，即：

$b=BD$

将$b$代入三角形面积公式，得到：

$S=\frac{1}{2}bh$

即为三角形面积的计算公式。

方法二：利用向量的叉积

如图所示，假设三角形$ABC$的顶点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$和$(x_3,y_3)$，则三角形$ABC$的面积可以用向量的叉积表示为：

$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

其中，$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$分别表示向量$\overrightarrow{AB}$和向量$\overrightarrow{AC}$，$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$表示向量$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$的模长。

向量的叉积定义为：

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta \cdot \overrightarrow{n}$

其中，$|\overrightarrow{a}|$和$|\overrightarrow{b}|$分别表示向量$\overrightarrow{a}$和向量$\overrightarrow{b}$的模长，$\theta$表示向量$\overrightarrow{a}$和向量$\overrightarrow{b}$之间的夹角，$\overrightarrow{n}$为垂直于向量$\overrightarrow{a}$和向量$\overrightarrow{b}$所在平面的单位向量，其方向由右手法则确定。

将向量$\overrightarrow{AB}$和向量$\overrightarrow{AC}$代入向量的叉积公式，得到：

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin \theta \cdot \overrightarrow{n}$

因为$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$在同一平面内，所以向量$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$的模长等于平行四边形$ABCD$的面积，即：

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|=S_{ABCD}=AB \times h$

将$AB$和$h$用坐标表示出来，得到：

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$h=\frac{|(x_3-x_1)(y_2-y_1)-(x_2-x_1)(y_3-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$

将$AB$和$h$代入三角形面积公式，得到：

$S=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \cdot \frac{|(x_3-x_1)(y_2-y_1)-(x_2-x_1)(y_3-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$

化简得到：

$S=\frac{1}{2}|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$

即为三角形面积的计算公式。

总结

三角形面积的计算公式是几何学中的基本公式之一，可以通过利用平行四边形的面积公式或向量的叉积公式推导得出。在实际应用中，我们可以根据三角形的特点选择不同的计算方法，以便更加方便地计算三角形的面积。

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