什么是质数和合数

质数：又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数：指在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他非零整数整除的数

质数又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

合数是指在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他非零整数整除的数。

质数的特点

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是*的。

（3）若n为大于或等于2的正整数，在n到n！之间至少有一个质数。

性质

质数的个数是*的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，是素数或者不是素数。

如果为素数，则要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数*中。

1、如果为合数，因为*一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的*公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数*中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有*多个。

2、其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了*素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

应用

质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，*人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的*公倍数，可增强耐用度减少故障。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的*期，而且害虫很难产生抗药性。

以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。

多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以*程度地减少碰见天敌的机会。

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