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矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算。在实际应用中，矩阵乘法常常用于表示线性变换、解线性方程组、求特征值和特征向量等问题。本文将从定义、性质和计算方法三个方面详细介绍矩阵乘法。
一、矩阵乘法的定义
设A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行k列的矩阵，那么它们的乘积C就是一个m行k列的矩阵，其中第i行第j列的元素为：
Cij = ∑(k=1~n)AikBkj
其中∑表示对k从1到n的求和。可以看出，C的每个元素都是由A和B的对应元素相乘后再求和得到的。
二、矩阵乘法的性质
矩阵乘法具有以下性质：
1.结合律：对于任意的矩阵A、B、C，有(A·B)·C=A·(B·C)。
2.分配律：对于任意的矩阵A、B、C，有A·(B+C)=A·B+A·C和(B+C)·A=B·A+C·A。
3.乘法单位元：存在一个m行m列的单位矩阵I，使得对于任意的m行n列的矩阵A，有A·I=I·A=A。
4.乘法结合元：对于任意的m行n列的矩阵A和n行k列的矩阵B，它们的乘积C=A·B是一个m行k列的矩阵。
5.乘法不满足交换律：对于任意的m行n列的矩阵A和n行k列的矩阵B，一般情况下有A·B≠B·A。
三、矩阵乘法的计算方法
矩阵乘法的计算方法主要有两种：行乘列法和列乘行法。
1.行乘列法
行乘列法是一种直观的计算方法，它的基本思想是将A的每一行与B的每一列相乘，再将乘积相加得到C的对应元素。例如，设A、B如下：
A = [1 2 3] B = [4 5]
[6 7 8] [9 10]
[11 12 13]
则C的第1行第1列的元素为：
C11 = 1×4+2×9+3×11=47
同样地，可以计算出C的其它元素。需要注意的是，A的列数必须等于B的行数，否则矩阵乘法无法进行。
2.列乘行法
列乘行法是一种更加*的计算方法，它的基本思想是将B的每一列乘以A，得到一个m行1列的矩阵，再将这些列向量组成一个n行m列的矩阵，即为C。例如，设A、B如下：
A = [1 2 3] B = [4 5]
[6 7 8] [9 10]
[11 12 13]
则C的第1列为：
[1×4+6×9+11×14]
[2×4+7×9+12×14]
[3×4+8×9+13×14]
同样地，可以计算出C的其它列向量。需要注意的是，B的行数必须等于A的列数，否则矩阵乘法无法进行。
总结：
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，具有结合律、分配律和乘法单位元等性质，但不满足交换律。矩阵乘法的计算方法有行乘列法和列乘行法两种。在实际应用中，矩阵乘法常常用于表示线性变换、解线性方程组、求特征值和特征向量等问题。
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